Sections du cube (4)

Soit \(\text{ABCDEFGH}\) un cube.
Soit \(\text{I}\), \(\text{J}\), \(\text{K}\) trois points appartenant à des arêtes du cube \(\text{ABCDEFGH}\). Soit \((\text{IJK})\) le plan passant par \(\text{I}\), \(\text{J}\), \(\text{K}\).

Propriété

Lorsque \(\text{I}\), \(\text{J}\), \(\text{K}\) sont distincts des six sommets et appartiennent à trois arêtes disjointes dans les trois directions, la section du cube par le plan \(\text{(IJK)}\) est un hexagone dont les côtés opposés sont parallèles.

Méthode

À partir de la configuration et des lettres du fichier de géométrie dynamique suivant.
Construire le projeté orthogonal \(\text{L}\) du point \(\text{I}\) sur la droite \(\text{(AE)}\).
La droite \(\text{(LB)}\) et la droite \(\text{(IK)}\) sont concourantes en le point \(\text{M}\) externe au cube.
En effet, les droites \(\text{(LI)}\) et \(\text{(BK)}\) sont parallèles, donc coplanaires, et comme \(\text{K}\) ne coïncide pas avec \(\text{C}\), la droite \(\text{(LB)}\) et la droite \(\text{(IK)}\) ne sont pas parallèles.
Tracer la droite \(\text{(MJ)}\) qui coupe la droite \(\text{(FB)}\) en le point \(\text{N}\).
Tracer la parallèle à \(\text{(NK)}\) passant par \(\text{I}\), elle coupe \(\text{(EH)}\) en \(\text{P}\).
Tracer la parallèle à \(\text{(NJ)}\) passant par \(\text{I}\), elle coupe \(\text{(CD)}\) en \(\text{O}\).

L'hexagone \(\text{OIPJNK}\) est la section du cube cherchée.

Théorème

Lorsque  \(\text{I}\), \(\text{J}\), \(\text{K}\) sont les milieux de trois arêtes disjointes dans les trois directions du cube \(\text{ABCDEFGH}\), la section plane du cube par le plan \(\text{(IJK)}\) est un hexagone régulier de centre le centre du cube.